Нотариус прав, вы не совсем верно поняли наш ответ. Принятие части наследства означает принятие всего наследства, но это не значит, что вам нотариус может просто так все оформить. Вы же наследовали по завещанию, в котором можно указать кого угодно, а не по закону, где учитываются родственные связи. Наследником можно являться: по закону (т.е. по родственным связям и если нет завещания); по завещанию.

Принять наследство можно любым способом - у нотариуса или фактически.

Поскольку квартира вам была завещана, вы приняли наследство у нотариуса и оформили его. Но в завещании не было указано другое имущество кроме квартиры (если вы правильно написали). Так что, это другое имущество переходит наследникам по закону на основании очередности.

Первыми будут наследовать родители, супруг и дети умершей или ее внуки, если детей тети нет в живых. Вы же являетесь наследницей лишь второй очереди и то только в том случае, если вашего родителя, который являлся братом или сестрой умершей тети, нет в живых. Соответственно, если у умершей не осталось детей, родителей и супруга, то вы можете рассчитывать на эти деньги по вкладу.

§ Ст.ст. 1141,1142,1143 Гражданского кодекса РФ

Если не было других наследников, принявших наследство, то вы можете доказать свои права на него.

Если вы были зарегистрированы в квартире с тетей на ее дату смерти, то оформить наследство по закону можно у нотариуса. Если нет, то вам придется обращаться в суд и установить факт принятия наследства по закону - то есть имущества, не указанного в завещании.

Безусловно, вы обязаны доказать ваше родство с тетей, иначе вы е будете считаться наследницей.